Dulce et utile

Publicat în Dilema Veche nr. 1000 din 8 iunie – 14 iunie 2023
Spirala de aur
Spirala de aur

Dacă luăm două cuvinte monosilabice,  și mai, observăm că timpul necesar pronunțării celui de-al doilea e mai lung decît în cazul primului (diftongul e echivalent cu o vocală lungă). Să ne imaginăm acum că avem un metronom: convenim că silaba scurtă cere o bătaie (o unitate de timp / o pulsație), iar silaba lungă cere două bătăi (două unități de timp / două pulsații). O silabă scurtă se va auzi natural mai slab decît una lungă, astfel că din alternanța lor va rezulta ritmul. Într-o poezie, dacă avem un vers compus din patru silabe, cum pot fi ele aranjate din perspectiva duratei? Dar dacă avem nouă silabe? Dar șaisprezece? Această problemă de combinatorică și-o pune, prin secolul II sau III î.Chr., matematicianul și poetul indian Pingala, cu privire la metrul sanscrit. El califică silabele drept „ușoare” și „grele” și formulează întrebarea generală: în cîte feluri poți aranja un număr n de silabe?

Grupul de aur
Grupul de aur

Dacă nu ai decît o unitate de timp, o poți umple doar cu o silabă scurtă, evident. Dacă ai două unități de timp, fie folosești două silabe scurte, fie una lungă (ss sau L). Dacă ai trei unități de timp, opțiunile sînt: fie trei silabe scurte, fie una scurtă și una lungă, fie invers – una lungă și una scurtă (ssssLLs). Patru unități de timp (sau pulsații) se pot umple în cinci moduri: sssLLssLLsssLs. Și așa mai departe. Numărul de pulsații n este, teoretic, infinit, de aceea numărul de moduri în care ele pot fi aranjate în funcție de durată este o funcție: f(n) = f(n-2) + f(n-1). Dînd valori succesive lui n, Pingala obține un șir de numere (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...), o secvență stranie, în care fiecare număr din șir se obține adunînd cele două numere precedente. De la Pingala a rămas cel mai vechi tratat de prozodie sanscrită, Chandahśastra, al cărui titlu conține termenul chandaḥ, care înseamnă, printre altele, „metru poetic” și „frumos”, „plăcut”.

Curios la aceste numere este faptul că pot fi asociate cu lumea naturală. Ian Stewart spune, în Numerele naturii, că numărul de petale al aproape tuturor florilor se recrutează din seria 3 (crinii), 5 (piciorul-cocoșului), 8 (nemțișorii), 13 (gălbenelele), 21 (crizantemele), 34, 55, 89 (cele mai multe margarete). La floarea-soarelui, alveolele în care se găsesc semințele sînt aranjate în două familii de spirale care se intersectează; la unele specii, numărul spiralelor care se răsucesc în sensul acelor de ceasornic este de 34, iar în sens opus, 55; la altele sînt 55 și 89, sau chiar 89 și 144, toate numere consecutive în seria de mai sus. Ananasul are 8 rînduri de alveole dispuse spre stînga și 13 spre dreapta. Aceleași tipare spiralate pot fi identificate în conurile de pin sau într-o conopidă. Fiindcă la începutul secolului al XIII-lea seria lui Pingala a fost popularizată de matematicianul italian Leonardo Fibonacci (cel care a introdus și cifrele indo-arabe în Europa), ea e cunoscută sub numele de „șirul lui Fibonacci”, iar descoperirile devin din ce în ce mai interesante.

Dacă iei oricare două numere consecutive din șir, împărțindu-l pe cel mai mare dintre ele la celălalt, obții o constantă infinită: 1,6180339887... Mai scurt, 1,618 este „numărul de aur”, denumit phi (notat Φ) în cinstea lui Phidias, cel care a decorat Parthenonul cu sculpturi. Raportul dintre cele două numere este The Golden Ratio (GR), „proporția divină” sau „secțiunea de aur”, pe care o găsim ca principiu de construcție în Parthenon, în piramidele egiptene și în statuile antice. Picturile lui Da Vinci au GR ca bază a proporțiilor umane: dacă, de exemplu, împarți lungimea feței la lățimea ei, obții Φ. Dar tot corpul uman poate fi raportat numeric la seria Fibonacci și la numărul de aur – relația dintre număr și/sau mărime a oaselor, a dinților, a inimii, a creierului, a corpului calos. Inima bate în ritmul GR: raportul dintre sistolă și diastolă la tînărul sănătos este 1,61. Ramificarea ramurilor unui copac și a arterelor coronariene la om urmează o distribuție secvențială Fibonacci. Remarcabil, măsurătorile și găsirea unor proporții deviante pot ajuta în diagnosticarea timpurie a diverselor patologii. Cercetări comparatiste recente ale cercetătorilor de la Facultatea de Medicină a Universității Johns Hopkins, efectuate asupra unui lot de 100 de cranii umane și 70 de animale, arată că craniul uman respectă GR, spre deosebire de craniile de cîine, (două specii de) maimuță, iepure, leu și tigru. Mai mult, pe măsură ce gradul de sofisticare a unei specii crește, pe atît proporția se apropie de numărul de aur.

Dreptunghiul de aur este o figură geometrică cu laturile reprezentate de oricare două numere consecutive din seria Fibonacci – să zicem că lungimea are 34 cm și lățimea 21 (ca în desenul nostru). În interior trasăm pătratul cu latura de 21 cm și ne rămîne un dreptunghi cu laturile (13, 8). Desenăm în interiorul lui pătratul de latură 8 și ne rămîne un dreptunghi cu laturile (5, 3). Desenăm un pătrat de latură 3 și ne rămîne un dreptunghi cu laturile (3, 2). Desenăm un pătrat de latură 2 și ne rămîne un dreptunghi cu laturile (2, 1). Desenăm un pătrat de latură 1 și obținem încă un pătrat identic, de latură 1. Deci, în procesul invers, de compunere, nu de descompunere, desenul crește așa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... ad infinitum. Acum: unind cu o linie unghiurile opuse ale tuturor pătratelor, obținem spirala de aur (vezi același desen), tipar care se regăsește în cochilia melcului, coada păunului, tentaculele caracatiței, mișcarea unui uragan, galaxii, cordon ombilical, ADN... spirala fiind cea mai eficientă formă de umplere a unui spațiu, așa cum au demonstrat matematicienii (în interior, simetria continuă: spiralele de nucleotide ale ADN-ului uman au proporții Fibonnaci, secțiunea transversală a dublei spirale ilustrează GR ș.a.m.d.).

În anii ’60, un strălucit lingvist american contemporan, Noam Chomsky, lucrînd pe terenul arid al sintaxei, propune o teorie absolut revoluționară care aduce împreună lingvistica, matematica, psihologia, biologia și, ultimativ, filozofia. Pornind de la faptul că sintaxa (felul în care sînt construite propozițiile și frazele) poate fi analizată matematic astfel încît să se identifice tiparele de organizare a vorbirii, Chomsky susține că acest demers ar putea dezvălui însăși organizarea mentală a facultății limbajului. Pornind de la un număr finit de sunete cu ajutorul cărora formează un număr finit de cuvinte, omul are, închis în cap, un mecanism care-i permite să înțeleagă și să genereze un număr infinit de mesaje. Această capacitate e centrală în teoria lui Chomsky, care o numește creativitate. Fiind o proprietate formală a sistemului sintactic, creativitatea chomskyană e de tip mecanic, fixată de reguli. (Celălalt sens pe care îl cunoaștem cu toții –„inventivitate”, „imaginație”, care sparge tiparele și încalcă regulile – e o proprietate a sistemului semantic, de care Chomsky nu e interesat). Mecanismul se bazează pe o gramatică universală, o teorie a gramaticilor, un fel de drivegenetic, o matrice cu setări și parametri activați și fixați de limba particulară la care omul este expus după naștere. Limbile naturale, deși diferite la suprafață, ar fi similare în adîncime, fiind modelate de structuri mentale inerente ființei umane, astfel că toate se supun constrîngerilor gramaticii universale, care specifică nu numai ce e posibil în limbă, dar și ce nu.

În virtutea acestui mecanism înnăscut, de a cărui prezență nu e conștient, omul adult e capabil nu numai de performanța menționată mai sus, ci și să recunoască (să „simtă”) dacă o înșiruire de cuvinte, deși absurdă, este corectă gramatical sau nu (Ideile verzi incolore dorm furios – așa sună celebrul exemplu chomskyan). Același mecanism (denumit LAD, Language Acquisition Device) permite ca, pe baza unui input sărac și nesistematizat, copilul mic să învețe limba maternă repede, însușindu-și, de fapt, un set de principii generale (reguli) care imprimă limbii capacitatea de autogenerare. Deși, prin gramatica sa transformațional-generativă, Chomsky descrie limba engleză cu ajutorul formulelor matematice (pe baza cărora putem azi „sta de vorbă” cu un chatbox), scopul final al alcătuirii unei gramatici generative este investigarea acestui LAD („organul limbii”, într-o exprimare metaforică). În această viziune, limba devine un produs natural, pentru că cele mai generale proprietăți structurale ale sale sînt determinate biologic.

Atunci, seria Fibonacci are vreo relevanță în limbă? Investigații de ultimă oră în această direcție ar sugera că da. De exemplu, într-un studiu intitulat The Golden Phrase: Steps to the Physics of Language, David Medeiros și Massimo Piattelli-Palmarini, de la Universitatea din Arizona, analizează o anumită metodă de codificare a regulilor de construcție sintactică, numită the X-bar schema. Din păcate, nu există o terminologie corespondentă în limba română, studiile de acest fel, la noi, fiind inexistente; simplificînd la extrem, avem de-a face cu o rețetă binară de construire a grupului (phrase, XP) prin combinarea capului acestuia (the head, X⁰), mai întîi cu un alt grup (complement, YP), combinînd apoi rezultatul (X’) cu un al doilea grup (specifier, ZP). Așadar, cei doi observă că această schemă (a se vedea imaginea) constituie, de fapt, „un format recursiv absolut special”. The X-bar schema este identificată drept The Golden Phrase („grupul de aur”) „pentru că se asociază strîns cu numerele Fibonacci și GR”: repetată la infinit, schema produce, în generări succesive, seria Fibonacci în numărul fiecărui tip de grup (XP, X”, X⁰). Proprietățile schemei detaliate în studiu au fost considerate de Chomsky însuși, în mai multe conversații cu cei doi autori, „mai interesante decît cred ei”.

În teoria lingvistului american, capacitatea vorbitorului de a simți că o propoziție sau frază e rău construită (sau ceea ce vorbitorul știe despre limbă inconștient, fără a ști că știe, ca o intuiție) se numește competență (iarăși, un sens diferit de cel cu care sîntem obișnuiți). Punînd cap la cap toate cele de mai sus, putem întreba: dacă limba e un produs natural, iar biologia umană e dirijată de numărul de aur, am putea deduce că el explică originea competenței? Apoi putem extinde: nu cumva Phi și toate cele care rezultă din el sînt un „standard” care ne orientează inconștient întreaga activitate, nu numai pe cea lingvistică? Nu cumva, atunci cînd percepem ceva ca fiind frumos, o facem avînd acest substrat care ordonează percepția? Atunci, cele mai subiective impresii ar putea fi evaluate obiectiv, dacă am ști cum. Valabilitatea noțiunii de canon nu ar mai fi contestată. Frumosul nu ar mai fi în ochii privitorului, cum se spune. Arta nu ar mai fi o problemă de gust. Proporția divină se folosește, deja, în Vest, în operațiile estetice și în lucrările dentare cosmetice. Studiile asupra mersului uman arată că respectarea acestei proporții în fazele mersului nu se reflectă doar în armonia sa exterioară, ci și în eficiența consumului de energie, care devine optim. Trecînd la cealaltă extremă: am văzut că deviațiile de la GR se corelează cu diverse patologii în plan fizic. Nu s-ar putea oare ca și patologiile mentale să aibă la origine alterări interne ale acestui standard? Și întrebările pot curge avalanșă. Oricum ar fi, numerele lui Pingala/Fibonacci arată că dulce et utile, vechea aspirație a lumii antice către frumos și util, nu este doar o noțiune abstractă, ci o stare de lucruri, concretă și cît se poate de firească: armonia (frumusețea) și eficiența (utilitatea) coexistă și decurg una din cealaltă. Iar descoperirea altor moduri în care, vorba lui Eminescu, lumea și vecia se sprijină într-un număr e abia la început. 

Laura Carmen Cuțitaru este conferențiar la Literele ieșene, specializată în lingvistică americană.

p 21 Viktor E  Frankl WC jpg
Pustiul refuzat
Nimic de adăugat, nimic de comentat.
p 22 jpg
Contradicțiile dreptului proprietății intelectuale
Ce înseamnă, mai exact, forma radicală a ideii? Înseamnă forma simplificată și agresivă a ideii.
p 7 LibertÔÇÜ 6 jpg
Dreptate pentru vînzătorii stradali
Comerțul stradal e o activitate economică legitimă prin care își cîștigă existența milioane de oameni.
Jose Ortega y Gasset jpg
(In)dispensabilitatea valorilor
Lumea este plină de oameni care nu au venit în contact cu marile valori.
p 22 sus WC jpg
Cît de încăpător e microuniversul?
„No sabemos qué cosa es el universo” – nu știm care e de fapt natura universului.
image png
Superficialitatea lucitoare
Dintotdeauna, cunoașterea și inteligența au fost asociate cu lumina.
image png
Literatură, trufe, lozinci
Cum să nu te mire puzderia de reclame care cheamă la protecția animalelor, cînd statul, inițiatorul lozincilor, este cel care nu-și respectă propriile îndemnuri...
image png
Statu quo res ante bellum erat1
Anul 2024 va fi un an crucial din punct de vedere politic la nivel global.
image png
Tot un fel de fard
Structura limbii e identică, dar vocabularul e manipulat astfel încît să servească cultura, nu invers.
image png
Vibrații, schimbare și golire de sens
Desigur că uneori este nevoie și de reforme, în mai toate domeniile.
image png
Rita Levi-Montalcini, o artistă a științei
„nu există știință fără creativitate și nici artă fără cunoaștere”.
image png
Repetăm sau ieșim din tipar?
Istoria se repetă în mod păgubos doar dacă omul nu învață din propria istorie și nu permite reașezarea reliefului psihic.
image png
Acest „ca și”...
În momentul în care Sf. Augustin (secolele IV-V d.Hr.) a surprins un călugăr (Sf. Ambrozie) care practica lectura în gînd, s-a mirat foarte tare.
p 22 jpg
Eu însumi și totuși altul
Căci nu este nimic mai miraculos în viață decît să ajungi să fii ceea ce ai visat tu însuți să fii.
image png
„Un flașnetar cîntă o baladă”
„Că rechinu-și poartă dinții / La vedere, e știut. / Dar Macheath are un șiș / Ce rămîne nevăzut."
image png
A crea pentru a înțelege
„Nu pot înțelege ceea nu pot crea”.
image png
Lupii tineri
În practică, este bine cunoscut că cei mai buni critici ai cuiva sînt discipolii lui, iar cei mai buni dintre discipoli sînt totodată şi cei mai critici.
p 23 WC jpg
În mijlocul omului – sau de ce avem nevoie de cunoaștere –
Cum oare putem merge prin lume fără cunoașterea de sine, altfel decît orbecăind și suferind? Avem nevoie de psihologie și de logică.
image png
Joaca este un lucru serios
Joaca poetizează viața și sufletul punînd la lucru creativitatea și prin aceasta ea devine un precursor al culturii. Prin urmare, joaca nu este naivitate, ci o formă de poezie științifică.
p 22 WC jpg
Principiul precauției între etic și politic
Sîntem îndemnați să nu cădem în catastrofism, să nu dramatizăm exagerat o situație soldată cu o poveste despre victime nevinovate și culpabili neglijenți.
p 7 WC jpg
Buna guvernare e o idee proastă
Agenda bunei guvernări și-a pierdut eticheta, dar continuă să trăiască și a devenit o amenințare existențială.
p 22 adevarul ro jpg
România colonială a anului 1907
Din fondurile obținute drept despăgubiri ar fi apărut conace încă și mai somptuoase decît cele incendiate.
p 22 Sydney Brenner WC jpg
Arta
Știința e arta rezolvabilului
p 23 Constantin Radulescu Motru WC jpg
Despre suveranitate și limitele sale necesare, cu ajutorul lui Constantin Rădulescu-Motru
Adică exact timpul necesar pentru ca posibila ieșire din UE să fie urmată de reorientarea rapidă către Est.

Adevarul.ro

image
Motanul-vedetă de pe Muntele Ceahlău. Portocală cutreieră cabanele la 2.000 metri altitudine. „E mai tare decât caprele negre“ FOTO
Portocală, un motan botezat de turiști cu acest nume după culoarea blănii, pare că-i la el acasă pe Muntele Ceahlău, fiind întâlnit prin preajma cabanelor.
image
Pacostea care a terorizat Parisul și New York-ul „se mută” la București. „A fost un chin până au scăpat de ele”
Piața imobiliară dă semne de declin în București și în marile orașe ale țării. Pe lângă prețurile imense și problemele cauzate de lipsa finanțării bancare, cei care vor să-și cumpere un apartament riscă să se confrunte și cu o nouă problemă, greu de imaginat până de curând
image
Hagi „fierbe“: Ianis, amenințat cu excluderea de la Euro 2024! Declarațiile care nasc o situație explozivă
Selecționerul Edward Iordănescu e „mut“ după calificarea la Campionatul European. În schimb, tatăl său tocmai l-a băgat într-o situație delicată, nominalizând jucătorii care n-ar merita să fie la turneul final, date fiind situațiile lor actuale la echipele de club.

HIstoria.ro

image
Zguduitoarea dramă amoroasă din Brăila, care a captivat presa interbelică
În anii 1923-1924, numita Anny Bally din Brăila, „de o frumuseţe rară“, a încercat să se sinucidă din dragoste. În 8 noiembrie 1924, tot din amor, şi-a împuşcat iubitul, după care s-a împuşcat şi ea.
image
Importanța stației NKVD de la Londra în timpul celui de-al Doilea Război Mondial
În 1941, stația NKVD de la Londra era cea mai productivă din lume, comunicând Moscovei 7.867 de documente diplomatice și politice, 715 documente pe probleme militare, 127 referitoare la aspecte economice și 51 legate de activități sau operațiuni ale serviciilor de informații.
image
Ce a însemnat România Mare
1 Decembrie 1918 a rămas în mentalul colectiv ca data la care idealul românilor a fost îndeplinit, în fața deschizându-se o nouă etapă, aceea a conștientizării și punerii în aplicare a consecințelor ce au urmat acestui act, crearea României Mari.