Ce înseamnă progres în matematică

Liviu ORNEA
Publicat în Dilema Veche nr. 637 din 5-11 mai 2016
Ce înseamnă progres în matematică jpeg

Matematica are un statut aparte față de celelalte științe. Acestea se ocupă, declarat, cu studiul și înțelegerea realității înconjurătoare, cu descifrarea (și formularea) legilor naturii. Ele pornesc de la observație și se bazează, de cele mai multe ori, pe experiment. Teoriile lor pot fi contextuale, marcate istoric – și, deci, invalidate de noi teorii bazate pe experimente din ce în ce mai sofisticate, posibile datorită avansului tehnologic.

Matematica, pe de altă parte, nu studiază realitatea înconjurătoare, ci niște construcții abstracte, tot de matematicieni create, care nu au corespondent în realitate – chiar dacă, la început, sursa inspirației tot realitatea fizică a fost. Nu există, totuși, în natură, puncte, nici drepte, nu există cercuri și nici π. Poate că obiectele matematice sînt un fel de idei platoniciene. Iar că modelele matematice se aplică atît de bine unor segmente ale realității rămîne un continuu prilej de uimire: The unreasonable effectiveness of mathematics, a spus Eugene Wigner. Să nu uităm, totuși, că și științele experimentale tot cu modele operează – de obicei, de complexitate mult redusă față de cea a obiectului sau sistemului studiat.

Lucrînd cu abstracțiuni și ne­pro­pu­nîndu-și să deslușească realitatea, matematica folosește exclusiv raționamentul, logica. De aceea, un rezultat odată demonstrat corect, rămîne veșnic valid în cadrul teoriei respective.

„Faptele sînt lucruri în care nu te poți încrede prea mult. Dar împotriva argumentelor, faptele sînt neputincioase“, spune Quaresma, personajul lui Pessoa. Matematica nu e, totuși, o subspecie a logicii, nu se poate imagina un automat care, folosind doar regulile logicii, să demonstreze toate teoremele posibile – visul acesta a fost spulberat, încă din anii 30, de Gödel. În plus, intuiția, de alt tip, totuși, decît a artiștilor, hrănită și îngrădită de reguli, are un rol important în ghidarea raționamentului matematic. Nu e, totuși, de mirare că unii preferă să așeze matematica în rînd cu artele, mai degrabă, decît cu științele.

În ce poate consta, atunci, progresul în matematică? Gîndim mai bine decît Euclid? Folosim mai bine decît el principiile logicii? Nu cred. Sau, dacă e așa, atunci poate fi doar un progres fiziologic, al alcătuirii noastre, care se răsfrînge și asupra matematicii.

Știm, neîndoios, mai mult pe măsură ce trece timpul. Dar simpla acumulare de cunoștințe – teoreme demonstrate – nu e un progres (sau e unul banal). În schimb, complexitatea din ce în ce mai mare a construcțiilor cu care lucrăm, gradul din ce în ce mai mare de abstractizare – chiar dacă, de cele mai multe ori, cine urmărește evoluția ideilor matematice poate desluși originea simplă a acestor concepte sofisticate –, folosirea combinată a metodelor de analiză, geometrie, algebră, acesta, da, e un progres.

Stau în picioare și azi rezultatele demonstrate de greci sau de matematicienii Evului de mijloc, de cei ai secolelor XVI, XVII? Aici, răspunsul e mai nuanțat. Ce s-a schimbat, de fapt, în timp, e gradul de rigoare pe care l-am cerut de la o demonstrație. Am devenit din ce în ce mai precauți, am verificat mai atent și nu ne-am mai lăsat convinși de afirmații insuficient argumentate. Așa se face că unele dintre afirmațiile grecilor, de pildă, s-au dovedit adevărate – deși incorect sau nu complet demonstrate de ei. Le-am demonstrat noi, modernii, riguros, dar enunțurile au rămas în picioare. Avem partea noastră de merit, dar intuiția celor vechi a funcționat și creditul trebuie să le revină. La fel cum, pentru demonstrarea conjecturii lui Poincaré, creditul îi revine lui Perelman, care a dat ideile și a schițat în cîteva (puține) zeci de pagini demonstrația pusă complet la punct în cîteva sute de pagini de alți matematicieni. Cred că și sporul de rigoare care a dus, între altele, la examinarea critică a fundamentelor e un progres.

Există, însă, și „demonstrații“ sau e­nunțuri în care toți credeau la un moment dat și care s-au dovedit, la o examinare ulterioară, mai atentă, sau după descoperirea unor noi exemple, greșite. Așa s-a crezut, bunăoară, pînă la Weierstrass, că orice funcție continuă e derivabilă în afara unei mulțimi de puncte izolate.

În timp, probleme care au rezistat zeci sau sute de ani au fost rezolvate. E un progres al cunoașterii, indiscutabil. Nu știm, însă, niciodată – nu avem cum ști – dacă un rezultat nu a putut fi demonstrat atunci cînd a fost enunțat (bănuit, simțit ar spune unii) din pricina lipsei unor tehnici potrivite sau din pricina insuficientei înzestrări, a lipsei de imaginație a celor care s-au aplecat asupra lui. Andrew Wiles a demonstrat teorema lui Fermat cu un aparat de geometrie algebrică extrem de sofisticat, pe care Fermat nu l‑ar fi putut înțelege. Dar nimeni nu poate afirma că nu există și o demonstrație elementară – ascunsă nouă, deocamdată (ca atare, mulți nu obosesc să o caute).

O schimbare spectaculoasă de di­recție a constituit-o inventarea (sau re­cu­noașterea existenței) geometriilor neeuclidiene. Saccheri, Lambert, Gauss, Lobacevsky, I. Bolyai, Riemann au contribuit, fiecare, la impunerea noii idei. Unii dintre ei (Gauss, Bolyai) au avut, limpede, sentimentul că sînt parte a unei revoluții. Nu atît în matematică – în filozofie: raportarea lui Gauss, de exemplu, la Kant e evidentă, mai ales în scrisori. Și nu e de mirare: matematica, la fel ca celelalte științe, e parte a culturii. Istoria matematicii e parte a istoriei culturii, a istoriei ideilor. Matematica, mai ales în secolele XVIII-XX, nu poate fi separată de filozofie – cum nici de fizică. Există dialog, stimulare și fertilizare reciprocă.

Cine contemplă devenirea ideilor în matematică nu poate să nu observe o explozie a noțiunilor și a metodelor pornită în secolul al XIX-lea și continuată accelerat în secolul XX. De fapt, marile schimbări apar înainte, odată cu descoperirea analizei matematice de către Leibniz și Newton, și merg paralel cu perfecționarea ei și cu aplicațiile analizei în algebră și geometrie. Schimbarea majoră de paradigmă din secolul XX, momentul Alexander Grothendieck, probabil neîntrecut deocamdată, nici complet asimilat, e de aceeași natură, dar cu semn schimbat: la el, algebra și geometria apar în prim plan. E ceea ce cred că marchează cel mai bine progresul în matematică. O paradigmă nouă, în cadrul aceluiași tip de logică, o viziune nouă și unificatoare asupra relațiilor între domeniile mari ale matematicii, una care conduce la dezvoltări spectaculoase în fiecare dintre ele.

La un asemenea rezultat nu se ajunge prin efort concertat, direcționat. E sigur că Grothendieck a apărut atunci cînd terenul era cumva pregătit, cînd noțiunile de la care a pornit ajunseseră la un anumit grad de maturitate, dar ce a făcut el e singular și excepțional. Nu se poate spune că dacă nu era el, era altcineva care ar fi făcut același lucru. La fel, nimeni nu poate afirma că, la un moment dat, oricum s-ar fi ajuns la formularea ipotezei lui Riemann, chiar fără Riemann. E o situație complet diferită de cea din științele experimentale. Mai apropiată de artă, da!

Ceea ce nu înseamnă că nu există efort concertat și rezultate obținute astfel. Exemplul cel mai la îndemînă e clasificarea grupurilor finite simple, muncă de mulți ani a mai multor echipe coordonate de Daniel Gorenstein. Demonstrația finală, operă colectivă, însumează peste o mie de pagini – și cîți, în afara lui Gorenstein însuși, mort în 1992, o mai pot verifica? Dacă, în principiu, o asemenea demonstrație-mamut poate fi, încă, verificată cu mijloacele tradiționale, demonstrațiile în care calculatorul joacă un rol esențial scapă complet verificării clasice și par să introducă o nouă paradigmă în cercetarea matematică. Un progres?

Se înțelege, cred, din cele de mai sus că văd progresul în matematici ca pe o noțiune destul de restrictivă. Motivul e că, pentru mine, nu foloasele matematicii contează cel mai mult, aplicațiile ei în celelalte științe – reale și importante, negreșit –, ci frumusețea ei intrinsecă, austeră și gratuită.

P.S. Îi mulțumesc lui Vasile Brînzănescu pentru discuțiile avute pe marginea unei prime versiuni a acestui articol.

Liviu Ornea este profesor la Facultatea de Matematică a Universităţii din Bucureşti.

image png
„O vîscozitate, sau altceva analog”
Înlocuirea unei piese de schimb presupune îndeobște oprirea mașinăriei, „scoaterea din priză” a ansamblului care trebuie reparat.
p 10 jpg
Grefe, transplant, înlocuiri de organe
Dimineața, doctorii își pun repede la loc „piesele” și pleacă la drum.
p 11 jpg
Despre viața eternă. Un creier în borcan
ă mă salvez în cer? Păi, ce discutăm noi aici, domnule, neuroștiințe, filosofie, transumanism sau teologie? În halul ăsta am ajuns? Doamne ferește!
p 12 jpg
Făpturi de unică folosință
Dar pentru a fi, realmente, mai buni, trebuie să găsim ieșirea din labirint.
image png
Poema centralei
Am găsit-o aici, montată de fostul proprietar, și va împlini în curînd 22 de ani.
p 13 jos  la Prisecaru jpg
Piese de schimb
Sperăm ca prin aceste considerații elementare să vă fi trezit dorința de a afla mai multe aspecte legate de acest capitol și curiozitatea de a urmări mai îndeaproape subiectul.
p 14 jpg
(Sub)ansambluri cognitive
Omul nu mai este, poate, măsura tuturor lucrurilor.
p 16 foto C  Mierlescu credit MNLR jpg
Cu ură și abjecție
Mă amuz și eu, dar constatativ, de un alt episod, grăitor, zic eu, cît zece.
image png
Groapa, cazul și centenarul
Eugen Barbu (20 februarie 1924 – 7 septembrie 1993) este, probabil, cel mai detestabil și mai controversat scriitor român din postbelicul literar românesc.
p 10 adevarul ro jpg
Dilemele decadenței
Există aici, poate, o secretă soteriologie la confiniile cu sensibilitatea decadentă, și anume credința că printr-o înălțare estetică deasupra oricărei etici contingente.
p 11 WC jpg
„Biografia detestabilă” și „opera admirabilă”
Groapa, cîteva nuvele din Oaie și ai săi ori Prînzul de duminică, parabolele decadente Princepele și Săptămîna nebunilor sînt titluri de neocolit.
p 12 Pe stadionul Dinamo, 1969 jpg
Montaje despre un mare prozator
Din dorința de a da autenticitate însemnării, autorul s-a slujit și de propria biografie. Cititorul va fi înțeles astfel semnificația primului montaj.
p 13 Eugen Barbu, Marcela Rusu, Aurel Baranga foto Ion Cucu credit MNLR jpg
Ce trebuie să faci ca să nu mai fii citit
Nu cred că Barbu e un scriitor mare, dar Groapa rămîne un roman bun (preferata mea e scena nunții) și pînă și-n Principele sînt pagini de foarte bună literatură.
p 14 credit MNLR jpg
Cele trei „Grații” ale „Împăratului Mahalalei”
Se pune, astfel, întrebarea ce ratează și unde ratează acest scriitor: fie în proasta dozare a elementului senzațional, fie în inabila folosire a șablonului ideologic.
image png
Dalí la București
Dalí vorbește românilor pe limba lor, spunîndu‑le, totuși, o poveste pe care nu o pot auzi de la nici un alt artist.
p 11 credit ARCUB jpg
Space venus Museum jpg
Declarația de independență a imaginației
și drepturile omului la propria sa nebunie
În coșmarul unei Venus americane, din beznă apare (ticsit de umbrele uscate) vestitul taxi al lui Cristofor Columb.
p 12 credit ARCUB jpg
Gala
Numai Gala și Dalí sînt deghizați într‑o mitologie deja indestructibilă.
Charme Pendentif Avide Dollars jpg
Suprarealismul sînt eu! Avida Dollars
Materia nu poate fi spiritualizată decît dacă o torni în aur.
047 jpg
Viziunea suprarealistă a lumii
Ne aflăm pe versantul opus lucidității gîndului. Intrăm în ținutul somnului, al tainei, adică în zona de umbră a vieții.
p 14 credit ARCUB jpg
Dalí în România?
Dacă ar fi să căutăm influența lui Dalí în arta românească, este necesar ca mai întîi să înțelegem cine și ce a fost Salvador Dalí.
image png
Mințile înfierbîntate
Cu alte cuvinte, cum diferă noile forme de fanatism de cele din trecut?
p 10 adevarul ro jpg
Dragă Domnule Cioran,
Pe vremuri, m-ați fi vrut arestat; acum, trebuie să-mi acceptați o „distanță ironică de destinul nostru”. Vai, lumea merge înainte cu „semi-idealuri”!
p 11 jpg

Parteneri

ciorba de fasole jpeg
Cum se prepară borșul de fasole după rețeta veche bucovineană. Secretele de care să ții cont
Borșul de fasole, sau „borș di fansuli”, cum îi spun cu drag localnicii din Bucovina, este unul dintre preparatele de suflet ale zonei, nelipsit mai ales în zilele de vineri și în perioada posturilor.
Chei locuință Foto Adevărul jpg
O nouă cerință pentru chiriași: cazierul și contractul de muncă - Dezbatere virală
Odată cu creșterea sumelor investite în amenajarea apartamentelor de închiriat și pe fondul unor experiențe neplăcute cu chiriașii, din ce în ce mai mulți proprietari din România solicită acestora cazier judiciar și contract de muncă. Ce spun chiriașii și cât de legal este?
image png
Ce s-a ales de Diana Muscă, „Lizuca” din filmul Dumbrava Minunată: „Nu am niciun regret”
Diana Muscă, micuța actriță care a cucerit inimile publicului în rolul Lizucăi din Dumbrava Minunată, a rămas în memoria multora pentru acest rol.
iran jpg
Iranul sub sancțiuni: cum rezistă regimul de la Teheran după patru decenii de izolare internațională
De peste 40 de ani, Iranul trăiește în logica unei fortărețe asediate. Regimul islamic instaurat în 1979 a făcut din rezistența la sancțiuni o doctrină de supraviețuire și un instrument de propagandă.
Goldener hut schifferstadt hist mus speyer jpg
Enigmele unei comori din aur masiv. Cum erau folosite bizarele conuri vrăjitorești vechi de 3000 de ani găsite pe teritoriul Europei
Unul dintre cele mai mari mistere ale lumii este reprezentat de o colecție de „pălării” din aur, vechi de peste 3000 de ani, descoperite în Europa Centrală. Sunt pline de simboluri ciudate și au fost găsite pe un areal întins. Nici până astăzi specialiștii nu au găsit o explicație privind rolul lor.
Supa, Shutterstock jpg
Dieta cu supă care face furori la Hollywood. Promite minus 4 kilograme în 7 zile
De-a lungul timpului, s-a demonstrat că nu dietele costisitoare garantează pierderea kilogramelor în plus, ci ambiția, perseverența și un stil de viață echilibrat.
locomotiva incendiu inquam jpeg
Locomotiva unui tren de marfă încărcat cu 800 de tone de cereale a luat foc
Pompierii Inspectoratului pentru Situaţii de Urgenţă (ISU) Timiş au intervenit, luni seara, pentru stingerea unui incendiu care a izbucnit la locomotiva unui marfar, în comuna Şandra.
ChatGPT Inteligenta Artificiata FOTO Shutterstock
Când poate fi de ajutor doctorul ChatGPT
Crezi că Google sau ChatGPT pot înlocui vizita la doctor? Tot mai mulți români își caută diagnostice și tratamente online, dar medicii trag un semnal de alarmă: ceea ce pare o soluție rapidă poate deveni un pericol real. Diagnostice greșite și tratamente riscante pot deveni tragedii.
dezbatere FOTO captura digi png
Cum ar reacționa Elena Lasconi, Nicușor Dan și Crin Antonescu dacă Rusia ar ataca România. Răspunsurile candidaților la prezidențiale
Elena Lasconi, Nicușor Dan și Crin Antonescu, singurii candidați la prezidențiale care au participat, luni seară, la dezbaterea organizată de Digi24 la Palatul Cotroceni, au fost întrebați cum vor reacţiona, din cea mai înaltă funcție a statului, în cazul unui atac al Rusiei în România.