Ce înseamnă progres în matematică

Matematica are un statut aparte față de celelalte științe. Acestea se ocupă, declarat, cu studiul și înțelegerea realității înconjurătoare, cu descifrarea (și formularea) legilor naturii. Ele pornesc de la observație și se bazează, de cele mai multe ori, pe experiment. Teoriile lor pot fi contextuale, marcate istoric – și, deci, invalidate de noi teorii bazate pe experimente din ce în ce mai sofisticate, posibile datorită avansului tehnologic.

Matematica, pe de altă parte, nu studiază realitatea înconjurătoare, ci niște construcții abstracte, tot de matematicieni create, care nu au corespondent în realitate – chiar dacă, la început, sursa inspirației tot realitatea fizică a fost. Nu există, totuși, în natură, puncte, nici drepte, nu există cercuri și nici π. Poate că obiectele matematice sînt un fel de idei platoniciene. Iar că modelele matematice se aplică atît de bine unor segmente ale realității rămîne un continuu prilej de uimire: The unreasonable effectiveness of mathematics, a spus Eugene Wigner. Să nu uităm, totuși, că și științele experimentale tot cu modele operează – de obicei, de complexitate mult redusă față de cea a obiectului sau sistemului studiat.

Lucrînd cu abstracțiuni și ne­pro­pu­nîndu-și să deslușească realitatea, matematica folosește exclusiv raționamentul, logica. De aceea, un rezultat odată demonstrat corect, rămîne veșnic valid în cadrul teoriei respective.

„Faptele sînt lucruri în care nu te poți încrede prea mult. Dar împotriva argumentelor, faptele sînt neputincioase“, spune Quaresma, personajul lui Pessoa. Matematica nu e, totuși, o subspecie a logicii, nu se poate imagina un automat care, folosind doar regulile logicii, să demonstreze toate teoremele posibile – visul acesta a fost spulberat, încă din anii 30, de Gödel. În plus, intuiția, de alt tip, totuși, decît a artiștilor, hrănită și îngrădită de reguli, are un rol important în ghidarea raționamentului matematic. Nu e, totuși, de mirare că unii preferă să așeze matematica în rînd cu artele, mai degrabă, decît cu științele.

În ce poate consta, atunci, progresul în matematică? Gîndim mai bine decît Euclid? Folosim mai bine decît el principiile logicii? Nu cred. Sau, dacă e așa, atunci poate fi doar un progres fiziologic, al alcătuirii noastre, care se răsfrînge și asupra matematicii.

Știm, neîndoios, mai mult pe măsură ce trece timpul. Dar simpla acumulare de cunoștințe – teoreme demonstrate – nu e un progres (sau e unul banal). În schimb, complexitatea din ce în ce mai mare a construcțiilor cu care lucrăm, gradul din ce în ce mai mare de abstractizare – chiar dacă, de cele mai multe ori, cine urmărește evoluția ideilor matematice poate desluși originea simplă a acestor concepte sofisticate –, folosirea combinată a metodelor de analiză, geometrie, algebră, acesta, da, e un progres.

Stau în picioare și azi rezultatele demonstrate de greci sau de matematicienii Evului de mijloc, de cei ai secolelor XVI, XVII? Aici, răspunsul e mai nuanțat. Ce s-a schimbat, de fapt, în timp, e gradul de rigoare pe care l-am cerut de la o demonstrație. Am devenit din ce în ce mai precauți, am verificat mai atent și nu ne-am mai lăsat convinși de afirmații insuficient argumentate. Așa se face că unele dintre afirmațiile grecilor, de pildă, s-au dovedit adevărate – deși incorect sau nu complet demonstrate de ei. Le-am demonstrat noi, modernii, riguros, dar enunțurile au rămas în picioare. Avem partea noastră de merit, dar intuiția celor vechi a funcționat și creditul trebuie să le revină. La fel cum, pentru demonstrarea conjecturii lui Poincaré, creditul îi revine lui Perelman, care a dat ideile și a schițat în cîteva (puține) zeci de pagini demonstrația pusă complet la punct în cîteva sute de pagini de alți matematicieni. Cred că și sporul de rigoare care a dus, între altele, la examinarea critică a fundamentelor e un progres.

Există, însă, și „demonstrații“ sau e­nunțuri în care toți credeau la un moment dat și care s-au dovedit, la o examinare ulterioară, mai atentă, sau după descoperirea unor noi exemple, greșite. Așa s-a crezut, bunăoară, pînă la Weierstrass, că orice funcție continuă e derivabilă în afara unei mulțimi de puncte izolate.

În timp, probleme care au rezistat zeci sau sute de ani au fost rezolvate. E un progres al cunoașterii, indiscutabil. Nu știm, însă, niciodată – nu avem cum ști – dacă un rezultat nu a putut fi demonstrat atunci cînd a fost enunțat (bănuit, simțit ar spune unii) din pricina lipsei unor tehnici potrivite sau din pricina insuficientei înzestrări, a lipsei de imaginație a celor care s-au aplecat asupra lui. Andrew Wiles a demonstrat teorema lui Fermat cu un aparat de geometrie algebrică extrem de sofisticat, pe care Fermat nu l‑ar fi putut înțelege. Dar nimeni nu poate afirma că nu există și o demonstrație elementară – ascunsă nouă, deocamdată (ca atare, mulți nu obosesc să o caute).

O schimbare spectaculoasă de di­recție a constituit-o inventarea (sau re­cu­noașterea existenței) geometriilor neeuclidiene. Saccheri, Lambert, Gauss, Lobacevsky, I. Bolyai, Riemann au contribuit, fiecare, la impunerea noii idei. Unii dintre ei (Gauss, Bolyai) au avut, limpede, sentimentul că sînt parte a unei revoluții. Nu atît în matematică – în filozofie: raportarea lui Gauss, de exemplu, la Kant e evidentă, mai ales în scrisori. Și nu e de mirare: matematica, la fel ca celelalte științe, e parte a culturii. Istoria matematicii e parte a istoriei culturii, a istoriei ideilor. Matematica, mai ales în secolele XVIII-XX, nu poate fi separată de filozofie – cum nici de fizică. Există dialog, stimulare și fertilizare reciprocă.

Cine contemplă devenirea ideilor în matematică nu poate să nu observe o explozie a noțiunilor și a metodelor pornită în secolul al XIX-lea și continuată accelerat în secolul XX. De fapt, marile schimbări apar înainte, odată cu descoperirea analizei matematice de către Leibniz și Newton, și merg paralel cu perfecționarea ei și cu aplicațiile analizei în algebră și geometrie. Schimbarea majoră de paradigmă din secolul XX, momentul Alexander Grothendieck, probabil neîntrecut deocamdată, nici complet asimilat, e de aceeași natură, dar cu semn schimbat: la el, algebra și geometria apar în prim plan. E ceea ce cred că marchează cel mai bine progresul în matematică. O paradigmă nouă, în cadrul aceluiași tip de logică, o viziune nouă și unificatoare asupra relațiilor între domeniile mari ale matematicii, una care conduce la dezvoltări spectaculoase în fiecare dintre ele.

La un asemenea rezultat nu se ajunge prin efort concertat, direcționat. E sigur că Grothendieck a apărut atunci cînd terenul era cumva pregătit, cînd noțiunile de la care a pornit ajunseseră la un anumit grad de maturitate, dar ce a făcut el e singular și excepțional. Nu se poate spune că dacă nu era el, era altcineva care ar fi făcut același lucru. La fel, nimeni nu poate afirma că, la un moment dat, oricum s-ar fi ajuns la formularea ipotezei lui Riemann, chiar fără Riemann. E o situație complet diferită de cea din științele experimentale. Mai apropiată de artă, da!

Ceea ce nu înseamnă că nu există efort concertat și rezultate obținute astfel. Exemplul cel mai la îndemînă e clasificarea grupurilor finite simple, muncă de mulți ani a mai multor echipe coordonate de Daniel Gorenstein. Demonstrația finală, operă colectivă, însumează peste o mie de pagini – și cîți, în afara lui Gorenstein însuși, mort în 1992, o mai pot verifica? Dacă, în principiu, o asemenea demonstrație-mamut poate fi, încă, verificată cu mijloacele tradiționale, demonstrațiile în care calculatorul joacă un rol esențial scapă complet verificării clasice și par să introducă o nouă paradigmă în cercetarea matematică. Un progres?

Se înțelege, cred, din cele de mai sus că văd progresul în matematici ca pe o noțiune destul de restrictivă. Motivul e că, pentru mine, nu foloasele matematicii contează cel mai mult, aplicațiile ei în celelalte științe – reale și importante, negreșit –, ci frumusețea ei intrinsecă, austeră și gratuită.

P.S. Îi mulțumesc lui Vasile Brînzănescu pentru discuțiile avute pe marginea unei prime versiuni a acestui articol.

Liviu Ornea este profesor la Facultatea de Matematică a Universităţii din Bucureşti.